关于自然数定义的皮亚诺公理

皮亚诺公理旨在用数学语言定义自然数。公理如下：

1. 0 是自然数。

2. 每一个确定的自然数a, 都有后继a'，a'也是自然数。但是这两条公理并不保证自然数个数是无限的，因为有可能 0'=1, 1'=0

3. 0 不是任何自然数的后继。但是这三条并不能保证自然数是无限的。因为可能 0'=1, 1'=2, 2'=2

4. 如果自然数a的后继是b, 自然数c的后继也是b, 那么a=c。同样可能 0'=1, 1'=2, 1'=3

5. 如果自然数b是自然数a的后继，自然数c也是自然数a的后继，那么 b=c, 一个自然数的后继数都相等。 为避免0和1之间出现0.3这样的数，增加以下一条。

6. 设S⊆N,且满足两个条件，i) 0 ∈ S ii) 如果 n ∈ S，则n'∈ S。 则S是所有自然数的集合，即S=N 前面的 5 条公理看起来都挺正常的，最后一条被称为归纳公理的却十分牵强。因为有可能存在这这样的两条链， 0->2->4->6->..... ，1->3->5->7->....

基于6条公理定义的有可能是0->2->4->6->... 并不能代表全体自然数。